Introdução
Uma progressão aritmética (abreviadamente, P. A.) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior com uma constante O número é chamado de razão ou diferença comum da progressão aritmética.
Alguns exemplos de progressões aritméticas:
- 1, 4, 7, 10, 13, ..., é uma progressão aritmética em que a razão (a diferença entre os números consecutivos) é igual a 3.
- -2, -4, -6, -8, -10, ..., é uma P.A. em que
- 6, 6, 6, 6, 6, ..., é uma P.A. com
Numa progressão aritmética, a partir do segundo termo, o termo central é a média aritmética do termo antecessor e do sucessor, isto é,
Fórmula do termo geral de uma progressão aritmética
O n-ésimo termo de uma progressão aritmética, denotado por pode ser obtido por meio da formúla.
em que:
- é o primeiro termo;
- é a razão.
Por meio da formula acima também é possível inserir (ou interpolar) uma quantidade de meios aritméticos entre dois números dados, de modo que eles formem parte de uma progressão aritmética. Esse procedimento é chamado de interpolação aritmética.
Demonstração
A fórmula do termo geral pode ser demonstrada por indução matemática:
- Ela é válida para o segundo termo pois, por definição, cada termo é igual ao anterior mais uma constante fixa r e portanto
- Assumindo como hipótese de indução que a fórmula é válida para ou seja, que resulta que o n-ésimo termo é dado por:
De forma análoga, demonstra-se a seguinte fórmula, que expressa o n-ésimo termo em função do m-ésimo termo, para quaisquer inteiros positivos m e n:
Soma dos termos de uma progressão aritmética
A soma dos termos de uma progressão aritmética situados no intervalo fechado de até é calculada pela seguinte fórmula:
Em particular, para somar os n primeiros termos, pode-se utilizar a seguinte simplificação da fórmula anterior:
Demostrações:
Considerando a PA a soma de todos os termos dessa progressão pode ser escrita assim:
Somando membro a membro, obtemos:
Todos os pares entre parênteses têm o mesmo valor por serem simétricos em relação aos extremos da PA
e assim por diante
Então, como há pares de termos:
Tipos de progressões aritméticas
Progressão aritmética constante
Uma progressão aritmética constante ou estacionária é toda progressão aritmética em que todos os termos são iguais, sendo que para isso a razão r tem que ser sempre igual a zero.
Exemplos de progressões aritméticas constantes:
- 5, 5, 5, 5, 5, ..., tem razão r = 0
- 0, 0, 0, 0, 0, ..., tem razão r = 0
Progressão aritmética crescente
Uma progressão aritmética crescente é toda progressão aritmética em que cada termo, a partir do segundo, é maior que o termo que o antecede, sendo que para isso a razão r tem que ser sempre maior que zero (r>0).
Exemplos de progressões aritméticas crescentes:
- 2, 4, 6, 8, 10, ..., com razão r = 2
- 3, 6, 9, 12, 15, ..., com razão r = 3
Progressão aritmética decrescente
Uma progressão aritmética decrescente é toda progressão aritmética em que cada termo, a partir do segundo, é menor que o termo que o antecede, sendo que para isso a razão r tem que ser sempre menor do que zero (r<0).
Exemplos de progressões aritméticas decrescentes:
- 6, 4, 2, 0, -2, ..., tem razão igual a -2
- 6, 3, 0, -3, -6, ..., tem razão igual a -3
Progressão aritmética de segunda ordem
Uma progressão aritmética de segunda ordem é uma sequência de números em que as diferenças entre os termos consecutivos segue uma progressão aritmética. Por exemplo, na sequência
- 1, 3, 7, 13, 21, 31, 43, 57, 73, ...,
se subtrairmos o primeiro termo da sequência do segundo, teremos como resultado o número 2. Já a diferença entre o segundo e terceiro termos é igual a 4, a diferença entre o terceiro e o quarto termos é igual a 6, e assim sucessivamente. Verificamos que a diferença entre os termos da sequência cresce em progressão aritmética de razão igual a 2, ou seja, assume os valores 2, 4, 6, 8 e assim por diante.
Seguindo o mesmo raciocínio, podemos definir progressões aritméticas de ordem 3: são sequências numéricas cuja diferença entre os termos formam uma progressão aritmética de ordem 2. Por analogia, podemos definir progressões aritméticas de ordem n.
O estudo da soma dos termos dessas sequências serve como introdução ao cálculo de integrais de funções polinomiais.
Fonte:http://pt.wikipedia.org/wiki/Progress%C3%A3o_aritm%C3%A9tica
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