Progressão Aritmética

segunda-feira, 14 de abril de 2014

Quem somos?

Alunos do sétimo termo de matemática da faculdade FUNDEC - FUNDAÇÃO DRACENENSE DE EDUCAÇÃO E CULTURA – (UNIFADRA) FACULDADES DE DRACENA - SP, incentivados pela professora Profª. Ms. Rosana Ramos Socha coordenadora do curso de matemática a criar um bloog sobre Progressão Aritmética para auxiliar futuras pesquisas na área e principalmente desenvolver a curiosidade e o interesse pelo tema.

Formada pela aluna:

TAIS ARIANE ALEXANDRO

Curiosidades

Um professor, para manter seus alunos ocupados, mandou que somassem todos os números de um a cem. Esperava que eles passassem bastante tempo executando a tarefa. Para sua surpresa, em poucos instantes um aluno de sete ou oito anos chamado Gauss deu a resposta correta: 5.050. Como ele fez a conta tão rápido? Gauss observou que se somasse o primeiro número com o último, 1 + 100, obtinha 101. Se somasse o segundo com o penúltimo, 2 + 99, também obtinha 101. Somando o terceiro número com o antepenúltimo, 3 + 98, o resultado também era 101. Percebeu então que, na verdade, somar todos os números de 1 a 100 correspondia a somar 50 vezes o número 101, o que resulta em 5.050. E assim, ainda criança Gauss inventou a fórmula da soma de progressões aritméticas. Gauss viveu entre 1777 e 1855 e foi sem dúvida um dos maiores matemáticos que já existiram. É por muitos considerado o maior gênio matemático de todos os tempos, razão pela qual também é conhecido como o Príncipe da Matemática.

SOMANDO TODOS OS NÚMEROS DE 1 A 100

Vamos ver como Gauss percebeu rapidamente que a soma de todos os números de 1 a 100 resulta

em 5.050. Para isso vamos somar os termos de dois em dois, de uma forma bem especial .

Veja:

1 + 100=101,

2 + 99=101,

3 + 98=101,

4 + 97=101.

47 + 54=101,

48 + 53=101,

49 + 52=101,

50 + 51=101.

Nas somas acima, ocupando o lugar da primeira parcela temos todos os números de 1 a 50.

No lugar da segunda parcela, temos todos os números de 51 a 100. São 50 somas e cada uma delas

resulta sempre no mesmo número:101. Portanto, para somar todos os números

de 1 a 100 basta somar 50 vezes 101, isto é, calcular 50 x 101 - 5050.

Fonte:http://www.uff.br/sintoniamatematica/curiosidadesmatematicas/curiosidadesmatematicas-html/curiosidadesmatematicas-br.html#gauss.

Os caçadores de sons de Fibonacci - número de ouro, sequência de Fibonacci

Vídeos

Exercícios

Exercícios Resolvidos - Progressão Aritmética

1) O número 15 possui quantos múltiplos com 2 dígitos?

2) Qual é o trigésimo múltiplo do número natural 21?

3) Uma progressão aritmética finita possui 39 termos. O último é igual a 176 e o central e igual a 81. Qual é o primeiro termo?

4) Uma sucessão de números igualmente distantes um após o outro, tem como décimo e vigésimo termos, respectivamente os números 43 e 83. Qual é o trigésimo termo desta sucessão?

5) A soma dos dez termos de uma P.A. é igual a -35. O último termo é igual ao número de termos. Qual é o primeiro termo?

6) Há uma certa P.A. que tanto o primeiro termo, quanto a razão são iguais ao número de termos. Sabe-se que a soma do primeiro com quarto termo é igual a 40. Qual é esta P.A.?

7) Se somarmos do quinto ao décimo-nono termo de uma P.A., quanto dará esta soma sabendo-se que o quinto termo é igual a 32 e o décimo-nono é igual a 81?

8) A soma dos 3 termos de uma P.A. decrescente finita é igual a 21 e o seu produto é igual a 231. Qual é o valor do último termo?

9) A soma dos 5 primeiros termos de uma P.A. é igual a -35 e a soma dos 10 primeiros termos é igual a 5. Qual é a soma dos 15 primeiros termos desta P.A.?

10) A soma dos termos da P.A.(5+x, 10+x, 15+x, ..., 100+x) é igual a 1110. Qual é valor de x?

Fonte: http://www.matematicadidatica.com.br/ProgressaoAritmeticaExercicios.aspx#anchor_ex1

Questões:

01. (FATES) Considere as seguintes seqüências de números:

I. 3, 7, 11, ...
II. 2, 6, 18, ...
III. 2, 5, 10, 17, ...

O número que continua cada uma das seqüências na ordem dada deve ser respectivamente:

a) 15, 36 e 24
b) 15, 54 e 24
c) 15, 54 e 26
d) 17, 54 e 26
e) 17, 72 e 26

02. (FEFISA) Se numa seqüência temos que f(1) = 3 e f(n + 1) = 2 . f(n) + 1, então o valor de f(4) é:
a) 4
b) 7
c) 15
d) 31
e) 42

03. Determinar o primeiro termo de uma progressão aritmética de razão -5 e décimo termo igual a 12.

04. Em uma progressão aritmética sabe-se que a4 = 12 e a9 = 27. Calcular a5.

05. Interpolar 10 meios aritméticos entre 2 e 57 e escrever a P. A. correspondente com primeiro termo igual a 2.

06. Determinar x tal que 2x - 3; 2x + 1; 3x + 1 sejam três números em P. A. nesta ordem.

07. Em uma P. A. são dados a1 = 2, r = 3 e Sn = 57. Calcular an e n.

08. (OSEC) A soma dos dez primeiros termos de uma P. A. de primeiro termo 1,87 e de razão 0,004 é:

a) 18,88
b) 9,5644
c) 9,5674
d) 18,9
e) 21,3

09. (UNICID) A soma dos múltiplos de 5 entre 100 e 2000, isto é, 105 + 110 + 115 + ... + 1995, vale:
a) 5870
b) 12985
c) 2100 . 399
d) 2100 . 379
e) 1050 . 379

10. (UE - PONTA GROSSA) A soma dos termos de P. A. é dada por Sn = n² - n, n = 1, 2, 3, ... Então o 10° termo da P. A vale:

a) 18
b) 90
c) 8

d) 100
e) 9

Resolução:

01. C
02. D03. a1 = 57

04. a5 = 15

05. (2; 7; 12; 17; ...)

06. x = 4

07. n = 6 e a6 = 17

08. A
09. E
10. A

Fonte : http://www.coladaweb.com/exercicios-resolvidos/exercicios-resolvidos-de-matematica/progressao-aritmetica.

Jogos Progressão Aritmética

Progressões Aritmética e Geométrica

Este tópico engloba recursos que abordam progressão aritmética, progressão geométrica e outras sequências numéricas acessíveis em nível de Ensino Médio.

Corrida ao 100

Mídia: experimento

Este experimento propõe um jogo. A estratégia vencedora desse jogo pode ser explorada como uma progressão aritmética.

Acesse aqui

Quadrado mágico aditivo

Mídia: experimento

Este experimento usa um antigo passatempo - o quadrado mágico - para tratar de conceitos de progressão aritmética.

Acesse aqui

Quadrado mágico multiplicativo

Mídia: experimento

Este experimento usa um antigo passatempo - o quadrado mágico - para tratar de conceitos de progressão geométrica.

Acesse aqui

O Quadrado de Koch

Mídia: experimento

Este experimento mostra alguns estudos possíveis ao observarmos padrões que emergem de um fractal.

Acesse aqui :

Fonte :http://www.mais.mat.br/wiki/Progress%C3%B5es_aritm%C3%A9tica_e_geom%C3%A9trica

http://www.sbem.com.br/files/viii/pdf/03/MC41839641053.pdf

Somas Cruzadas

Efetuar atividades de ludicidade matemática envolvendo números posicionados em formas geométricas, tem sido um hábito recorrente deste blog. Desta vez, a figura escolhida engloba dois triângulos com um vértice comum:

A tarefa consiste em posicionar os primeiros sete números naturais, todos e apenas uma vez, no lugar das letras, de modo que: (a + b + c = a + d + g = e + f + g = c + d + e.

Ora bem, as condições do enunciado da tarefa levam a concluir que a soma dos quatro números pertencentes a cada triângulo terá de ser a mesma, isto é: a + b + c + d = d + e + f +g. Por outro lado, a soma dos sete valores envolvidos na tarefa é 28, pois 28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7. Logo, se se excluir o valor comum (d), a soma dos seis números restantes terá de ser um valor par, para que possibilite duas metades inteiras de igual valor numérico, pois a + b + c = e + f + g. Sendo assim, existem três possibilidades de isso ocorrer:

- atribuir à letra "d" o valor 2, resultando uma soma 26, subdividida em duas somas de valor 13;

- atribuir à letra "d" o valor 4, resultando uma soma 24, subdividida em duas somas de valor 12;

- atribuir à letra "d" o valor 6, resultando uma soma 22, subdividida em duas somas de valor 11.

Resta, agora, testar se para cada caso os seis números sobrantes se dividem exactamente nas duas somas de igual valor numérico:

- 1º caso: 13 = 7 + 5 + 1 e 13 = 6 + 4 + 3;

- 2º caso: 12 = 7 + 3 + 2 e 12 = 6 + 5 + 1;

- 3º caso: 11 = 7 + 3 + 2 e 11 = 5 + 4 + 2.

Testemos cada caso na respectiva figura:

1º caso:

Verifica-se, pois que 7 + 1 + 5 = 7 + 2 + 4 = 5 + 2 + 6 = 6 + 3 + 4 = 13.

2º caso:

Neste caso, confirma-se que: 7 + 2 + 3 = 7 + 4 + 1 = 3 + 4 + 5 = 5 + 6 + 1 =12.

3º caso:

Veja-se que neste caso: 4 + 5 + 2 = 4 + 6 + 1 = 2 + 6 + 3 = 3 + 7 + 1=11.

A tarefa revelou, pois, uma natureza aberta, por permitir mais do que uma solução.

Imagine-se, agora, um estudo envolvendo os sete primeiros múltiplos naturais do 5 e, de seguida, os sete primeiros múltiplos naturais do 10. Como se posicionariam os números no caso de ser possível obedecer às premissas da tarefa inicial?

Eis uma possível solução, tirando partido, por exemplo, da ordem posicional dos elementos envolvidos no 1º caso da tarefa inicial deste artigo:

Múltiplos do 5:	Múltiplos do 10:

Note-se que a soma em qualquer linha da figura da esquerda é sempre 65 e nas da direita é sempre o seu dobro: 130.

Em contexto de sala de aula, seria desejável que os alunos conseguissem estabelecer uma relação entre o menor dos números envolvidos e a soma mágica a obter. Note-se que a iniciar em 5, e com os múltiplos naturais do 5, a soma foi 65; a iniciar em 10, e com os múltiplos naturais do 10, a soma foi 130, ou seja 65 + 1 x 65. Qual será a soma quando se inicia no valor 20, usando os sete primeiros múltiplos naturais deste valor?

Ora, seria desejável que os alunos inferissem a lei geral que permite obter uma qualquer soma (s) a partir dos sete primeiros múltiplos de números, que sejam múltiplos naturais do cinco. Assim, s = 65 + (n - 1) x 65, sendo "n" o número de ordem, múltiplo natural do 5. Logo, para n = 20 estaremos na presença do quarto múltiplo natural do 5 e a soma respectiva será a seguinte: s = 65 + (4 - 1) x 65 = 65 + 3 x 65 = 260. Confirmemos com a figura:

Analise em conjunto as três figuras seguintes, encontre uma lei geral que descreva matematicamente a soma obtida em função do respectivo menor valor envolvido em cada uma delas e projecte a possível soma de uma nova figura como estas, iniciada pelo valor 20:

Latas em Progressão Aritmética

Uma pesquisa sobre a biografia de Friedrich Gauss leva-nos a um interessante episódio com mais de 200 anos, sendo já uma importante referência na história da matemática. Conta-se que este prestigioso matemático alemão, ao começar a dar os seus primeiros passos académicos, surpreendeu o seu professor quando sujeito a uma actividade matemática que consistia em determinar a soma de todos os números inteiros de 1 a 100.

Sendo uma tarefa muito penosa para todos os seus colegas, Gauss muito rapidamente, colocou em cima da secretária do professor a sua ardósia com a conclusão da tarefa. Sentindo a necessidade de justificar a sua rapidez, explicou ao professor que a soma seria o valor do produto de 50 pares de números por 101. Assim surge o número 5050. Valor ao qual, os colegas se renderam depois de meia hora de trabalho.

O raciocínio daquele aluno baseou-se na observação de que 1+100 = 2+98 = 3+97 = 4+96 = …= 50+51 = 101. Portanto, bastava adicionar 50 pares de números com o valor de 101.

Será que o leitor também já se tinha apercebido desta curiosidade? Experimente aplicar o mesmo raciocínio para determinar a soma de outra qualquer sequência do mesmo tipo. Em matemática estas sequências são conhecidas por progressões aritméticas - o termo seguinte, resulta da soma do termo anterior com um qualquer número que deve ser constante. Um exemplo de uma progressão aritmética é: 9, 12, 15, 18… em que a constante é 3. Querendo adicionar os 6 primeiros termos (9 + 12 + 15 + 18 + 21+ 24), de acordo com a descoberta de Gauss, é o mesmo que ter 33 + 33 + 33 = 3 x 33 = 99.

Este é um bom exemplo de como a matemática pode ser uma boa ferramenta para nos facilitar o trabalho, que em princípio, parecia ser exaustivo. Assim, tivesse a rapariga do hipermercado conhecimento disso e também ela teria a vida facilitada. A rapariga a que me refiro é a Catarina, funcionária numa empresa que vende salsichas enlatadas. Nunca gostou de matemática, e agora tem que dar conta, ao seu patrão, do número exacto de latas que utilizou na exposição feita no hipermercado.

As latas foram empilhadas de tal forma que cada uma está assente noutras duas latas, o que faz com que cada camada tenha menos uma lata que a camada de baixo.

O trabalho realizado pela Catarina é uma “parede” construída com as latas de salsichas distribuídas por 16 camadas, em que a última camada, a do cimo, tem 16 latas. Já fez 3 contagens e encontrou 3 números diferentes. Desesperada, pediu ajuda a uma colega para fazerem uma nova contagem, entretanto, foi encontrado um novo número. A sua amiga rapidamente se descartou daquela tarefa justificando-se que nunca tinha sido boa aluna a matemática.

É certo que Gauss já não vai poder ajudar a Catarina, mas deixou-nos a maior riqueza que se pode herdar - o conhecimento. É com base nesse conhecimento que conto com a solidariedade do leitor para ajudar a Catarina a determinar o número exato de latas que utilizou naquela construção.

Fonte: http://maismat.blogspot.com.br/2009/01/latas-em-progresso-aritmtica.html

Jogos de Memória

Segundo pesquisadores, crianças que têm uma memória de trabalho pouco eficiente têm dificuldades em Matemática. E considerando a recíproca, crianças que são pouco habilidosas em Matemática têm problemas com memória de trabalho. E mais, indivíduos sem dificuldades em Matemática tiveram melhor desempenho em atividades de memória de curto prazo verbal e viso-espacial. E o mais interessante, o desempenho das memórias de curto prazo verbal e viso-espacial, detectadas nos participantes, preveem o seu desempenho nas habilidades matemáticas.

Fonte: http://www.leoakio.com/jogos/calculadora-quebrada.swF

Início

Introdução

Uma progressão aritmética (abreviadamente, P. A.) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior com uma constante $r.$ O número $r$ é chamado de razão ou diferença comum da progressão aritmética.

Alguns exemplos de progressões aritméticas:

1, 4, 7, 10, 13, ..., é uma progressão aritmética em que a razão (a diferença entre os números consecutivos) é igual a 3.
-2, -4, -6, -8, -10, ..., é uma P.A. em que $r = -2.$
6, 6, 6, 6, 6, ..., é uma P.A. com $r = 0.$

Numa progressão aritmética, a partir do segundo termo, o termo central é a média aritmética do termo antecessor e do sucessor, isto é, $a_{n} = (a_{n-1} + a_{n+1}) / 2.$

Fórmula do termo geral de uma progressão aritmética

O n-ésimo termo de uma progressão aritmética, denotado por $a_n,$ pode ser obtido por meio da formúla.

$a_n = a_1 + (n - 1) \cdot r,$

em que:

$a_1$ é o primeiro termo;
$r$ é a razão.

Por meio da formula acima também é possível inserir (ou interpolar) uma quantidade de meios aritméticos entre dois números dados, de modo que eles formem parte de uma progressão aritmética. Esse procedimento é chamado de interpolação aritmética.

Demonstração

A fórmula do termo geral pode ser demonstrada por indução matemática:

Ela é válida para o segundo termo pois, por definição, cada termo é igual ao anterior mais uma constante fixa r e portanto $a_2 = a_1 + 1 \cdot r;$
Assumindo como hipótese de indução que a fórmula é válida para $n-1,$ ou seja, que $a_{n-1} = a_1 + (n - 2) \cdot r,$ resulta que o n-ésimo termo é dado por:

$a_n = a_{n-1} + r = (a_1 + (n - 2) \cdot r) + r = a_1 + ((n - 2) \cdot r + r) = a_1 + (n - 1) \cdot r.$

De forma análoga, demonstra-se a seguinte fórmula, que expressa o n-ésimo termo em função do m-ésimo termo, para quaisquer inteiros positivos m e n:

$a_n = a_m + (n - m) \cdot r$

Soma dos termos de uma progressão aritmética

A soma dos termos dos extremos é igual à soma dos termos equidistantes deles

A soma dos termos de uma progressão aritmética situados no intervalo fechado de $a_p$ até $a_q$ é calculada pela seguinte fórmula:

$S_{(p,q)}=\frac{(q - p + 1) \cdot (a_p + a_q)}{2}.$

Em particular, para somar os n primeiros termos, pode-se utilizar a seguinte simplificação da fórmula anterior:

$S_n=\frac{n \cdot \left(a_1 + a_n\right)}{2}.$

Demostrações:

Considerando a PA $(a_1, a_2, a_3, ..., a_{n-1}, a_n),$ a soma $S_n$ de todos os termos dessa progressão pode ser escrita assim:

$S_n = a_1 + a_2 + ... + a_{n-1} + a_n$

$S_n = a_n + a_{n-1} + ... + a_2 + a_1$

Somando membro a membro, obtemos:

$2S_n = (a_1 + a_n) + (a_2 + a_{n-1}) + ... + (a_{n-1} + a_2) + (a_n + a_1)$

$2S_n = (a_1 + a_n) + (a_2 + a_{n-1}) + ... + (a_2 + a_{n-1}) + (a_1 + a_n)$

Todos os pares entre parênteses têm o mesmo valor por serem simétricos em relação aos extremos da PA

$(a_2 + a_{n-1}) = (a_1 + r + a_n - r) = (a_1 + a_n)$

$(a_3 + a_{n-2}) = (a_1 + 2r + a_n - 2r) = (a_1 + a_n)$

e assim por diante

$2S_n = (a_1 + a_n) + (a_1 + a_n) + ... + (a_1 + a_n) + (a_1 + a_n)$

Então, como há $n$ pares de termos:

$2S_n = (a_1 + a_n) \cdot n$

$S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$

Tipos de progressões aritméticas

Progressão aritmética constante

Uma progressão aritmética constante ou estacionária é toda progressão aritmética em que todos os termos são iguais, sendo que para isso a razão r tem que ser sempre igual a zero.

Exemplos de progressões aritméticas constantes:

5, 5, 5, 5, 5, ..., tem razão r = 0
0, 0, 0, 0, 0, ..., tem razão r = 0

Progressão aritmética crescente

Uma progressão aritmética crescente é toda progressão aritmética em que cada termo, a partir do segundo, é maior que o termo que o antecede, sendo que para isso a razão r tem que ser sempre maior que zero (r>0).

Exemplos de progressões aritméticas crescentes:

2, 4, 6, 8, 10, ..., com razão r = 2
3, 6, 9, 12, 15, ..., com razão r = 3

Progressão aritmética decrescente

Uma progressão aritmética decrescente é toda progressão aritmética em que cada termo, a partir do segundo, é menor que o termo que o antecede, sendo que para isso a razão r tem que ser sempre menor do que zero (r<0).

Exemplos de progressões aritméticas decrescentes:

6, 4, 2, 0, -2, ..., tem razão igual a -2
6, 3, 0, -3, -6, ..., tem razão igual a -3

Progressão aritmética de segunda ordem

Uma progressão aritmética de segunda ordem é uma sequência de números em que as diferenças entre os termos consecutivos segue uma progressão aritmética. Por exemplo, na sequência

1, 3, 7, 13, 21, 31, 43, 57, 73, ...,

se subtrairmos o primeiro termo da sequência do segundo, teremos como resultado o número 2. Já a diferença entre o segundo e terceiro termos é igual a 4, a diferença entre o terceiro e o quarto termos é igual a 6, e assim sucessivamente. Verificamos que a diferença entre os termos da sequência cresce em progressão aritmética de razão igual a 2, ou seja, assume os valores 2, 4, 6, 8 e assim por diante.

Seguindo o mesmo raciocínio, podemos definir progressões aritméticas de ordem 3: são sequências numéricas cuja diferença entre os termos formam uma progressão aritmética de ordem 2. Por analogia, podemos definir progressões aritméticas de ordem n.

O estudo da soma dos termos dessas sequências serve como introdução ao cálculo de integrais de funções polinomiais.

Fonte:http://pt.wikipedia.org/wiki/Progress%C3%A3o_aritm%C3%A9tica